ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64899
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В равенстве  х5 + 2x + 3 = pk  числа х и k – натуральные. Может ли число р быть простым?


Решение

  Заметим, что  x5 + 2x + 3 = (x + 1)(x4x³ + x² – x + 3).  При этом оба множителя больше единицы, а второй не меньше первого.

  Если число р – простое, то  x + 1 = pa,  x4x³ + x² – x + 3 = pb,  где а и b – натуральные числа и  b ≥ a.  Тогда  x4x³ + x² – x + 3  делится на  x + 1.  Значит, остаток от деления многочлена  P(x) = x4x³ + x² – x + 3 на x + 1  делится на  x + 1.  По теореме Безу этот остаток равен  P(–1) = 7.  Следовательно, 7 делится на  x + 1,  то есть  x = 6.

  Подставив х = 6 в исходное равенство, получим:  7791 = pk.  Но число 7791 не является степенью простого числа (оно делится на 3, но не делится на 9).


Ответ

Не может.

Замечания

Догадаться о том, что исходный многочлен делится на  x + 1  можно с помощью теоремы Безу.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .