|
|
 |
Условие
Вписанный n-угольник (n > 3) разбит непересекающимися (во внутренних точках) диагоналями на треугольники. Каждый из получившихся треугольников подобен хотя бы одному из остальных. При каких n возможна описанная ситуация?
Решение
При чётном n можно разрезать правильный n-угольник на два равных многоугольника диагональю, проходящей через его центр, а потом разрезать эти два многоугольника одинаковым образом. Кроме того, можно на трёх сторонах правильного 2k-угольника построить равные треугольники с вершинами на описанной окружности. Поэтому при нечётном n > 5 искомая ситуация тоже возможна. Осталось доказать, что она невозможна при n = 5.
Если центр описанной около пятиугольника окружности не лежит ни на одной из проведённых диагоналей, то треугольник, содержащий его, – остроугольный, а остальные – тупоугольные, то есть описанная ситуация не может иметь места. Если же центр лежит на диагонали, то два треугольника, примыкающие к этой диагонали, – прямоугольные, а третий – тупоугольный. Следовательно, указанная ситуация также невозможна.
Ответ
При n = 4 и при n > 5.
