ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64919
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Рожкова М.

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.


Решение

Так как  ∠AMD = ∠ABD = 45° = ∠QAD,  то  ∠AQD = ∠AMD + ∠MAQ = ∠PAD.  Аналогично  ∠APD = ∠ADQ  (см. рис.). Следовательно, треугольники APD и QDA подобны, то есть  2SAPQD = AQ·PD = AD² = SABCD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2012
тур
задача
Номер 17

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .