Задача 64919

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Рожкова М.

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

Решение

Так как  ∠AMD = ∠ABD = 45° = ∠QAD,  то  ∠AQD = ∠AMD + ∠MAQ = ∠PAD.  Аналогично  ∠APD = ∠ADQ  (см. рис.). Следовательно, треугольники APD и QDA подобны, то есть  2S_APQD = AQ·PD = AD² = S_ABCD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	17