Условие
Вершину A параллелограмма ABCD соединили отрезками с серединами сторон BC и CD. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол ВАD: острым, прямым или тупым.
Решение
Пусть N – середина ВС, М – середина CD, AN = 2AM.
Первый способ. Через точку М проведём прямую, параллельную ВС. Она пересекает АВ в точке K, а AN – в точке P. Тогда KP – средняя линия треугольника ВAN (рис. слева) и АР = ½ AN = AM. В равнобедренном треугольнике APM ∠AMP = ∠APM < 90°. Следовательно,
∠BAD > ∠PAD = 360° – (∠ABM + ∠DMP) – ∠APM = 180° – ∠APM > 90°.
Второй способ. Продлим отрезок АМ до пересечения с прямой ВC в точке L. Треугольники DAM и CLM равны по стороне и двум прилежащим углам (рис. справа). Следовательно, АМ = МL, тогда АL = 2АМ = АN. В равнобедренном треугольнике АNL ∠ ANL = ∠ALN < 90°. Угол ANL – внешний для треугольника AВN, значит, ∠AВN < ∠ANL < 90°. Значит, ∠ВАD = 180° – ∠AВN > 90°.
Ответ
Тупым.
