|
|
 |
Условие
Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать "за", "против" или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу "Блестит ли золото?" все гномы проголосовали "за", а по вопросу "Страшен ли Дракон?" Торин воздержался. Сколько могло быть гномов?
Решение
Если по какому-либо вопросу гномы проголосовали единогласно, то после этого они всегда будут голосовать точно так же. Поэтому вопрос о Драконе обсуждался раньше чем вопрос о золоте.
Возможно, что перед вопросом о золоте гномы уже несколько раз
единогласно голосовали "за". Рассмотрим последний вопрос, по которому был несогласный гном (голосовал не "за"; такой вопрос был – например, вопрос о Драконе). Пусть этот гном голосовал "против". Для того, чтобы его соседи в следующий раз проголосовали "за", гномы, сидящие от него через одного, должны были воздержаться. Аналогично гномы, сидящие от них через одного, должны были голосовать "против", и так далее. Получаем цепочку ...П?В?П?В?..., где "П" и "В" обозначают голосовавших "против" и воздержавшихся, а знаки вопроса – гномов, мнение которых нас не интересует. В случае, если несогласный гном воздержался, получаем такую же цепочку.
Если количество гномов чётно, то цепочка замкнётся, а это значит, что в ней одинаковое количество "В" и "П". Тогда количество гномов, обозначенных "В" и "П", чётно, а количество всех гномов – вдвое больше.
Если же количество гномов нечётно, то расставив по кругу "В" и "П", мы продолжим их ставить вместо знаков вопроса, то есть гномы расположатся по кругу парами: ...ВВППВВПП... . Это противоречит тому, что их количество нечётно.
Осталось показать на примере, что любое количество гномов, кратное
4, удовлетворяет условию задачи. Для этого, пусть они сначала проголосуют про дракона так: ...ВВППВВПП... (один из "В" – это Торин), а потом про золото единогласно "за".
Ответ
Любое число, кратное 4.
