ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64950
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC. Прямая, параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно, а медиану AM – в точке Q. Известно, что  PQ = 3,  а  QT = 5.  Найдите длину AC.


Решение

  Первый способ. Проведём через точку Q прямую, параллельную BC (N и L – точки пересечения этой прямой со сторонами AB и AC соответственно, см. рис. слева). Поскольку AM – медиана, то  LQ = NQ,  кроме того,  PT || AC,  то есть PQ – средняя линия треугольника ANL. Значит,  AL = 2PQ = 6.  Кроме того,  QL || TC  и  QT || LC,  следовательно, LQTC – параллелограмм, откуда  LC = QT = 5.  Таким образом,
AC = AL + LC = 6 + 5 = 11.

                       

  Второй способ. Проведём среднюю линию XM треугольника ABC (рис. в центре). Треугольники APQ и AXM подобны, треугольники QMT и AMC также подобны, поэтому  PQ : XM = AQ : AM  и  QT : AC = QM : AM,  то есть  PQ : XM + QT : AC = 1.  Подставляя значения из условия и учитывая, что  AC = 2MX,  получим  6 : AC + 5 : AC = 1,  откуда  AC = 11.

  Третий способ. Проведём среднюю линию MN треугольника ABC (рис. справа). Отрезок QT делится отрезком MN пополам. Из подобия треугольников APQ и MXQ получим, что  AQ : QM = 3 : 2,5 = 6 : 5.  Значит,  QT : AC = MQ : AM = 5 : 11,  то есть AC = 11.


Ответ

AC = 11.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2014
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .