|
|
 |
Условие
Дан треугольник ABC. Прямая, параллельная AC, пересекает стороны AB и BC в точках P и T соответственно, а медиану AM – в точке Q. Известно, что PQ = 3, а QT = 5. Найдите длину AC.
Решение
Первый способ. Проведём через точку Q прямую, параллельную BC (N и L – точки пересечения этой
прямой со сторонами AB и AC соответственно, см. рис. слева).
Поскольку AM – медиана, то LQ = NQ, кроме
того, PT || AC, то есть PQ – средняя линия
треугольника ANL. Значит, AL = 2PQ = 6. Кроме того, QL || TC и QT || LC, следовательно, LQTC – параллелограмм, откуда LC = QT = 5. Таким образом,
AC = AL + LC = 6 + 5 = 11.
Второй способ. Проведём среднюю линию XM треугольника ABC (рис. в центре). Треугольники APQ и AXM подобны, треугольники QMT и AMC также подобны, поэтому PQ : XM = AQ : AM и QT : AC = QM : AM, то есть PQ : XM + QT : AC = 1. Подставляя значения из условия и учитывая, что AC = 2MX, получим 6 : AC + 5 : AC = 1, откуда AC = 11.
Третий способ. Проведём среднюю линию MN треугольника ABC (рис. справа). Отрезок QT делится отрезком MN пополам. Из подобия треугольников APQ и MXQ получим, что AQ : QM = 3 : 2,5 = 6 : 5. Значит, QT : AC = MQ : AM = 5 : 11, то есть AC = 11.
Ответ
AC = 11.
