Задача 64964

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружности с центрами A и C проходят через точку B, вторично пересекаются в точке F и пересекают описанную окружность ω треугольника ABC в точках D и E. Отрезок BF пересекает окружность ω в точке O. Докажите, что O – центр описанной окружности треугольника DEF.

Решение

  Пусть в окружности с центром C центральный угол BCE равен 2α. Тогда вписанный угол EFB равен α (см. рис.).

  Вписанные в окружность ω углы BCE и BOE, то есть  ∠BOE = ∠BCE = 2α.  Угол BOE – внешний угол треугольника EOF. Следовательно,
∠OEF = ∠BOE – ∠OFE = α,  то есть треугольник EOF – равнобедренный и  OE = OF.
  Аналогично  OF = OD.  Следовательно, O – центр описанной окружности треугольника DEF.

Замечания

Возможны и другие решения.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5