ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64966
Темы:    [ Средняя линия трапеции ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. Докажите, что трапеция равнобокая.


Решение

Пусть AD, BC – основания трапеции. Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD. Пусть E – точка пересечения этой прямой с продолжением основания AD. Тогда треугольник ACE – прямоугольный и, значит, его медиана, проведённая из вершины C, равна половине гипотенузы, то есть средней линии трапеции. Из условия следует, что высота этого треугольника совпадает с медианой, поэтому диагонали трапеции равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
класс
Класс 8
задача
Номер 8.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .