Задача 64971

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Прокопенко Д.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. A₀ – середина стороны BC. Прямые A₀B₁ и A₀C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно прямой BC, в точках P и Q. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника PA₀Q лежит на высоте треугольника ABC.

Решение 1

  Так как треугольники BCB₁ и BCC₁ – прямоугольные, то их медианы B₁A₀, C₁A₀ равны половине гипотенузы, то есть  B₁A₀ = A₀C = A₀B = C₁A₀.
  ∠PB₁A = ∠CB₁A₀ = ∠B₁CA₀ = ∠PAC,  и, значит,  PA = PB₁ (рис. слева). Аналогично  QA = QC₁.  Следовательно, вписанная окружность треугольника A₀PQ касается его сторон в точках A, B₁, C₁, откуда и следует утверждение задачи.

           

Решение 2

  Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, O – середина AH. Тогда точки A₀, B₁, C₁, O лежат на окружности девяти точек треугольника ABC (см. задачу 52511), причём A₀O – диаметр этой окружности. С другой стороны, точки B₁, C₁ лежат на окружности с диаметром AH, которая, следовательно, и является вписанной окружностью треугольника APQ (рис. справа).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	8
задача
Номер	8.6