ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64971
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1. A0 – середина стороны BC. Прямые A0B1 и A0C1 пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно прямой BC, в точках P и Q. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника PA0Q лежит на высоте треугольника ABC.


Решение 1

  Так как треугольники BCB1 и BCC1 – прямоугольные, то их медианы B1A0, C1A0 равны половине гипотенузы, то есть  B1A0 = A0C = A0B = C1A0.
  ∠PB1A = ∠CB1A0 = ∠B1CA0 = ∠PAC,  и, значит,  PA = PB1 (рис. слева). Аналогично  QA = QC1.  Следовательно, вписанная окружность треугольника A0PQ касается его сторон в точках A, B1, C1, откуда и следует утверждение задачи.

           


Решение 2

  Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, O – середина AH. Тогда точки A0, B1, C1, O лежат на окружности девяти точек треугольника ABC (см. задачу 52511), причём A0O – диаметр этой окружности. С другой стороны, точки B1, C1 лежат на окружности с диаметром AH, которая, следовательно, и является вписанной окружностью треугольника APQ (рис. справа).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2011
класс
Класс 8
задача
Номер 8.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .