Задача 64972

Темы:    [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Акопян А.В.

На плоскости отмечена точка M, не лежащая на осях координат. По оси ординат движется точка Q, а по оси абсцисс точка P так, что угол PMQ всегда остаётся прямым. Найдите геометрическое место точек N, симметричных M относительно PQ.

Решение

  Точки P, Q, M и начало координат O лежат на окружности с диаметром PQ. Значит, точка N тоже лежит на этой окружности и  ∠PON = ∠POM  (см. рис.). Таким образом, N лежит на прямой, симметричной OM относительно осей координат.

  С другой стороны, если N – произвольная точка этой прямой, а P, Q – точки пересечения осей координат с окружностью OMN, то
∠PMN = ∠PON = ∠POM = ∠PNM  и  ∠PMQ = ∠POQ = ∠PNQ = 90°,  поэтому точки M и N симметричны относительно PQ.

Ответ

Прямая, симметричная OM относительно осей координат.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	8
задача
Номер	8.7