ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64975
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Кеян Д.

В треугольнике ABC  ∠B = 2∠C.  Точки P и Q на серединном перпендикуляре к стороне CB таковы, что  ∠CAP = ∠PAQ = ∠QAB = ⅓ ∠A.
Докажите, что Q – центр описанной окружности треугольника CPB.


Решение

Пусть точка D симметрична A относительно PQ. Тогда ABCD – равнобокая трапеция, а диагональ BD – биссектриса угла B. Следовательно,
CD = DA = AB.  Кроме того,  ∠DAP = ∠C + ⅓ ∠A = ⅓ (∠A + ∠B + ∠C) = 60°.  Поэтому треугольник ADP – равносторонний и  AP = AB.  Поскольку AQ – биссектриса угла PAB, то  QP = QB = QC  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2011
класс
Класс 9
задача
Номер 9.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .