|
|
 |
Условие
Дано два тетраэдра A1A2A3A4 и B1B2B3B4. Рассмотрим шесть пар рёбер AiAj и BkBl, где (i, j, k, l) – перестановка чисел (1, 2, 3, 4) (например, A1A2 и B3B4). Известно, что во всех парах, кроме одной, рёбра перпендикулярны. Докажите, что в оставшейся паре рёбра тоже перпендикулярны.
Решение
Лемма. Ребра A1A2 и B3B4 перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикуляры, опущенные из точек A1, A2 на плоскости B2B3B4 и B1B3B4 соответственно, пересекаются.
Доказательство. Пусть A1A2 ⊥ B3B4. Тогда существует плоскость, проходящая через A1A2 и перпендикулярная B3B4. Перпендикуляры из условия леммы лежат в этой плоскости и, значит, пересекаются. Обратно, если перпендикуляры пересекаются, то проходящая через них плоскость перпендикулярна B3B4 и содержит A1A2.
Пусть A1A2 ⊥ B3B4, A1A3 ⊥ B2B4, A2A3 ⊥ B1B4. Тогда любые два из трёх перпендикуляров, опущенных из A1, A2, A3 на соответствующие грани B1B2B3B4, пересекаются. Так как эти перпендикуляры не лежат в одной плоскости, отсюда следует, что они проходят через одну точку. Следовательно, если выполнены условия задачи, то все четыре перпендикуляра, опущенные из вершин одного тетраэдра на соответствующие грани другого, проходят через одну точку, что влечет перпендикулярность шестой пары рёбер.
