Задача 64997

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

В треугольнике ABC на сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и угол DEF – прямой.
Докажите, что DE – биссектриса угла ADF.

Решение

  Через точки Е и F проведём прямые, параллельные АВ. Пусть они пересекают ВС и АС в точках K и L соответственно (см. рис.). По теореме Фалеса K – середина отрезка BF, L – середина отрезка CE. Отметим точку M пересечения KE и DF, тогда M – середина отрезка DF.

  Таким образом, ЕМ – медиана прямоугольного треугольника DEF, проведённая к гипотенузе, поэтому  ∠MDE = ∠MED.  Кроме того, из параллельности прямых МЕ и AD следует, что  ∠MED = ∠EDA.  Значит,  ∠ADE = ∠FDE.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3.2