Задача 65014

Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  AB = BC.  На диагонали BD выбрана такая точка K, что  ∠AKB + ∠BKC = ∠A + ∠C.
Докажите, что  AK·CD = KC·AD.

Решение

Возьмём на BD такую точку L, что  ∠ALB = ∠A.  Так как треугольники ABL и DBA подобны,  BL·BD = AB² = BC².  Значит, треугольники CBL и DBC тоже подобны, то есть  ∠BLC = ∠C  и L совпадает с K. Требуемое равенство следует из указанных подобий.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	13