Задача 65022

Темы:    [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Акопян А.В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Известно, что  ∠ABD + ∠ACD > ∠BAC + ∠BDC.  Докажите, что  S_ABD + S_ACD > S_BAC + S_BDC.

Решение

Легко видеть, что условие задачи равносильно тому, что лучи AB и DC пересекаются, то есть точка C находится ближе к прямой AB чем точка D, а точка B находится ближе к прямой CD чем точка A. Поэтому  S_ABD > S_ABC  и  S_ACD > S_BCD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
тур
задача
Номер	21