ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65025
Темы:    [ Перпендикулярные прямые в пространстве ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Перпендикулярность прямой и плоскости (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дана прямая l в пространстве и точка A, не лежащая на ней. Для каждой прямой l', проходящей через A, построим общий перпендикуляр XY (Y лежит на l') к прямым l и l'. Найдите ГМТ точек Y.


Решение

Пусть плоскость, проходящая через A и перпендикулярная l, пересекает l в точке B, а C – проекция Y на эту плоскость. Так как  BC || XY,  то  BCAY  и по теореме о трёх перпендикулярах  BCAC.  Следовательно, C лежит на окружности с диаметром AB, а Y – на цилиндре, образующие которого проходят через точки этой окружности. Очевидно, что любая точка цилиндра принадлежит искомому ГМТ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2010
тур
задача
Номер 24

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .