Задача 65029

Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C₁. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B₁. Докажите, что прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

Пусть B₀, C₀ – середины сторон AC, AB соответственно. Так как треугольники AB₀B₁, AC₀C₁ – прямоугольные с  ∠A = 60°,  то  AB₁ = 2AB₀ = AC  и
AC₁ = 2AC₀ = AB.  Следовательно, прямая B₁C₁ симметрична BC относительно биссектрисы угла A. Поскольку эта биссектриса проходит через центр вписанной окружности, а прямая BC касается этой окружности, то и прямая B₁C₁ её касается.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	3