ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65029
Темы:    [ Треугольники с углами 60╟ и 120╟ ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в 30╟ ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  ∠A = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку AB пересекает прямую AC в точке C1. Серединный перпендикуляр к отрезку AC пересекает прямую AB в точке B1. Докажите, что прямая B1C1 касается вписанной окружности треугольника ABC.


Решение

Пусть B0, C0 – середины сторон AC, AB соответственно. Так как треугольники AB0B1, AC0C1 – прямоугольные с  ∠A = 60°,  то  AB1 = 2AB0 = AC  и
AC1 = 2AC0 = AB.  Следовательно, прямая B1C1 симметрична BC относительно биссектрисы угла A. Поскольку эта биссектриса проходит через центр вписанной окружности, а прямая BC касается этой окружности, то и прямая B1C1 её касается.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
тур
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .