Задача 65031

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр к стороне AB до пересечения с другой стороной в некоторой точке C'. Аналогично построены точки A' и B'. Для каких исходных треугольников треугольник A'B'C' будет равносторонним?

Решение

Пусть треугольник A'B'C' – равносторонний, треугольник ABC – не равносторонний и AB – его наибольшая сторона. Тогда точки A’, B’ лежат на отрезке AB, и C'C₀, где C₀ – середина AB, – серединный перпендикуляр к A'B'. Значит, C' совпадает с C и треугольник ABC – равнобедренный. Кроме того,  2∠A = ∠A + ∠ACB' = ∠CB'B = 60°,  следовательно,  ∠A = ∠B = 30°.

Ответ

Для равносторонних и треугольников с углами 30°, 30° и 120°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	5