ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65031
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Треугольники с углами 60╟ и 120╟ ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC проведён серединный перпендикуляр к стороне AB до пересечения с другой стороной в некоторой точке C'. Аналогично построены точки A' и B'. Для каких исходных треугольников треугольник A'B'C' будет равносторонним?


Решение

Пусть треугольник A'B'C' – равносторонний, треугольник ABC – не равносторонний и AB – его наибольшая сторона. Тогда точки A’, B’ лежат на отрезке AB, и C'C0, где C0 – середина AB, – серединный перпендикуляр к A'B'. Значит, C' совпадает с C и треугольник ABC – равнобедренный. Кроме того,  2∠A = ∠A + ∠ACB' = ∠CB'B = 60°,  следовательно,  ∠A = ∠B = 30°.


Ответ

Для равносторонних и треугольников с углами 30°, 30° и 120°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
тур
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .