Задача 65033

Темы:    [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Акопян А.В.

На сторонах AB и AC треугольника ABC выбрали точки P и Q так, что  PB = QC.  Докажите, что  PQ < BC.

Решение

Если  AB = AC,  то утверждение очевидно. Пусть  AB > AC,  тогда  ∠C > ∠B,  то есть точка Q находится дальше от прямой BC, чем точка P. Построим параллелограмм CBPT. Тогда  CT = BP = CQ  (см. рис.). Следовательно,  ∠PQT > ∠TQC = ∠QTC > ∠QTP,  то есть  BC = PT > PQ.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	7