|
|
 |
Условие
а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).
б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).
Решение
а) Пусть точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA, AB треугольника ABC. Так как середина C0 отрезка A'B' лежит внутри треугольника ABC, расстояние от нее до стороны AB меньше опущенной на эту сторону высоты треугольника. Поскольку центр тяжести M треугольника A'B'C' делит отрезок C'C0 в отношении 2 : 1, то расстояние от M до AB меньше ⅔ этой высоты. Аналогично расстояния от M до двух других сторон меньше ⅔ соответствующих высот, то есть M лежит внутри шестиугольника, образованного сторонами данного треугольника и прямыми, симметричными им относительно точки пересечения его медиан. При этом две вершины треугольника A'B'C' приближаются к одной вершине треугольника ABC, то центр тяжести приближается к границе указанного шестиугольника, так что все его внутренние точки принадлежат искомому ГМТ.
б) Рассуждая аналогично п.а), получаем, что искомое ГМТ является телом, ограниченным гранями данного тетраэдра и параллельными им плоскостями, каждая из которых делит соответствующую высоту в отношении 1 : 3, считая от вершины. Четыре из восьми граней этого тела являются треугольниками, а остальные – шестиугольниками.
