ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65061
Темы:    [ Обыкновенные дроби ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При всяком ли натуральном  n > 2009  из дробей    можно выбрать две пары дробей с одинаковыми суммами?


Решение

Каждая из данных дробей имеет вид  ,  где  1 ≤ a ≤ n.  Стало быть, достаточно найти такие различные натуральные числа a, b, c и d, не большие 2009, для которых  .  Убрав минус единицы и поделив затем на  n + 1,  получим равносильное равенство  .  Осталось подобрать удовлетворяющие ему дроби. Это можно сделать, взяв любое равенство двух сумм различных натуральных слагаемых, НОК которых не больше 2009, и поделив его на этот НОК. Например, поделив равенство  1 + 4 = 2 + 3  на 12, получим  .


Ответ

При всяком.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер 1 (2009 год)
тур
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .