ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65069
Темы:    [ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Найдите какие-нибудь семь последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 1 таким образом, чтобы произведение семи полученных в результате чисел равнялось произведению семи исходных чисел.


Решение

Подходят, например, числа от 3 до 9: заменим 3 на 2, 4 на 5, 5 на 6, а числа в каждой из пар  (6, 7)  и  (8, 9)  заменим друг на друга. В итоге получаем
3·4·5·6·7·8·9 = 2·5·6·7·6·9·8.

Замечания

Если удалось изменить на 1 каждое из n последовательных натуральных чисел  m, ..., m + n – 1  так, чтобы их произведение сохранилось, то можно сделать то же самое и с  n + 2  последовательными натуральными числами  m, ..., m + n – 1, m + n, m + n + 1:  достаточно к подходящим заменам чисел m, ..., m + n – 1  добавить замены  m + n  ↔  m + n + 1.  Так из чисел 3, 4, 5, можно получить примеры для любого нечётного количества последовательных натуральных чисел. Очевидным образом строятся примеры и для любого чётного количества последовательных натуральных чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер 2 (2010)
тур
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .