|
|
 |
Условие
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.
Решение 1
Обозначим наши числа a, b, c. Тогда a + b² + c² = a² + b + c² = a² + b² + c. Из первых двух равенств имеем a² – a = b² – b, то есть
(a – b)(a + b –1) = 0. Значит, a = b или b = 1 – a. Аналогично a = c или c = 1 – a. Следовательно, если a ≠ b и a ≠ c, то b = 1 – a = c, то есть в любом случае два числа равны.
Решение 2
Если a + b² + c² = a² + b + c² = a² + b² + c, то a² – a = b² – b = с² – с = d (где d – некоторое число), то есть числа a, b и c – решения уравнения
x² – x = d. Но квадратное уравнение имеет не более двух решений. Это и значит, что хотя бы два из наших чисел равны.
