От квадрата отрезан прямоугольный треугольник, сумма катетов которого равна стороне квадрата.
Докажите, что сумма трёх углов, под которыми видна из трёх оставшихся вершин его гипотенуза, равна 90°.

   Решение

Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если у него:
  а) медиана BD является высотой;
  б) высота BD является биссектрисой.

   Решение

Темы:    [ Текстовые задачи (прочее) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равные треугольники. Признаки равенства ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Смешарики живут на берегах пруда в форме равностороннего треугольника со стороной 600 м. Крош и Бараш живут на одном берегу в 300 м друг от друга. Летом Лосяшу до Кроша идти 900 м, Барашу до Нюши – тоже 900 м. Докажите, что зимой, когда пруд замёрзнет и можно будет ходить прямо по льду, Лосяшу до Кроша снова будет идти столько же метров, сколько Барашу до Нюши.

Решение

  Пусть Крош живет на расстоянии x от ближайшего к нему угла пруда:  AК = x.  Тогда расстояние БВ от Бараша до его угла пруда равно  300 – x.
  По условию  ВЛ = 900 – ВК = 300 + x  (так как 900 – это ровно половина периметра пруда, каким из двух путей идти Лосяшу до Кроша, неважно),
АН = 900 – AБ = 600 – x.  Осталось заметить, что треугольники АНБ и ВКЛ равны по углу и двум прилежащим к нему сторонам  (AБ = 300 + x = BЛ,
AН = ВК).  Значит, равны и их соответствующие стороны ЛК и БН.

Замечания

1. То, что Нюша живёт на стороне AC, а не на стороне BC видно из того, что  600 – x < 600  (после того, как Бараш прошел  300 + x  до вершины A, ему остаётся до Нюши еще  600 – x < AC).  Аналогично, Лосяш живёт именно на стороне BC.

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования