ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65121
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть AL – биссектриса треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезкуAL пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC, в точках P и Q. Докажите, что описанная окружность треугольника PLQ, касается стороны BC.


Решение

  Заметим, что треугольники PLQ и PAQ симметричны относительно прямой PQ. Через точку A проведём касательную XY к окружности Ω. Достаточно доказать, что прямые XY и BC симметричны относительно прямой PQ. А поскольку точки A и L симметричны относительно прямой PQ, остаётся установить равенство углов XAL и BLA.
  Используя касание и теорему о внешнем угле треугольника, имеем  ∠XAL = ∠XAB + ∠BAL = ∠ACB + ∠CAL = ∠BLA.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 10
задача
Номер 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .