Задача 65121

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Берлов С.Л.

Пусть AL – биссектриса треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезкуAL пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC, в точках P и Q. Докажите, что описанная окружность треугольника PLQ, касается стороны BC.

Решение

  Заметим, что треугольники PLQ и PAQ симметричны относительно прямой PQ. Через точку A проведём касательную XY к окружности Ω. Достаточно доказать, что прямые XY и BC симметричны относительно прямой PQ. А поскольку точки A и L симметричны относительно прямой PQ, остаётся установить равенство углов XAL и BLA.
  Используя касание и теорему о внешнем угле треугольника, имеем  ∠XAL = ∠XAB + ∠BAL = ∠ACB + ∠CAL = ∠BLA.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	10.3