|
|
 |
Условие
Коэффициенты a, b, c квадратного трёхчлена f(x) = ax² + bx + c – натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.
Решение
Покажем, что Паше хватит даже 1022 рублей.
Если коэффициент c не больше 1022, то, сделав его равным нулю, мы получим трёхчлен f1(x) = ax² + bx, имеющий целый корень x = 0.
Пусть c ≥ 1023; тогда a + b ≤ 977. Рассмотрим два последовательных квадрата, между которыми находится c: m² ≤ c < (m + 1)². При этом m ≤ 44 , поскольку c < 2000 < 45². Тогда одна из разностей c – m² и (m + 1)² – c не превосходит ½ ((m + 1)² – m²) = m + ½, то есть не больше 44. Итак, найдётся натуральное k, для которого |c – k²| ≤ 44. Заменив теперь a на –1, b на 0, а c на k², мы изменим коэффициенты суммарно не более, чем на
a + b + 1 + |c – k²| ≤ 978 + 44 = 1022, и получим трёхчлен f2(x) = – x² + k², имеющий целый корень x = k.
