ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65127
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Якубов А.

Продолжения медиан AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A0, B0 и C0 соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC0, AB0C и A0BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.


Решение

  Обозначим через M точку пересечения медиан треугольника ABC. Очевидно,  SAMB = SAMC;  из условия получаем, что
  Отсюда  C1B1 || C0B0 || BC.  Поскольку четырёхугольник BCB0C0 вписан, он является равнобокой трапецией или прямоугольником; в любом случае,  BM = MC,  то есть треугольник BMC – равнобедренный, и его медиана MA1 является и высотой. Значит, и в треугольнике ABC медиана AA1 является высотой, то есть  AB = AC.  Равенство  AB = BC  доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .