|
|
 |
Условие
Квадратный трёхчлен f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство f(a² + b²) ≥ f(2ab).
Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.
Решение
Предположим, что оба корня трёхчлена неотрицательны, и придём к противоречию.
Первый способ. Подставим в условие b = 0 и получим, что f(a²) ≥ f(0) при всех a. Следовательно, f(t) ≥ f(0) при любом положительном t. Из этого следует, в частности, что ветви параболы направлены вверх.
По предположению вершина параболы имеет положительную абсциссу, назовём ее t0. Но тогда f(0) > f(t0). Противоречие.
Второй способ. Пусть t0 – положительная абсцисса вершины параболы.
Если ветви параболы направлены вверх, то наименьшее значение трёхчлена равно f(t0). Подставив в условие b = –a, получим, что f(2a²)
≥ f(–2a²) при всех a. Следовательно, f(t) ≥ f(–t) при любом положительном t; в частности, f(t0)
≥ f(– t0), что невозможно.
Пусть ветви параболы направлены вниз. Тогда наибольшее значение трёхчлена равно f(t0). Подставив в условие b = 2a, получим, что
f(5a²) ≥ f(4a²) при всех a. Следовательно, f(5t/4) ≥ f(t) при любом положительном t; в частности, f(5t0/4) ≥ f(t0), что невозможно.
Третий способ. Заметим, что для любых чисел 0 ≤ p ≤ q можно подобрать такие неотрицательные числа a и b, что p = 2ab и q = a² + b². Следовательно, для любых чисел 0 ≤ p ≤ q имеем неравенство f(p) ≤ f(q). Таким образом, на положительной полуоси трёхчлен возрастает. Поэтому ветви его графика направлены вверх. Но тогда он не может иметь два неотрицательных корня, поскольку это противоречит возрастанию.
