ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65128
Тема:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Храбров А.

Квадратный трёхчлен  f(x) имеет два различных корня. Оказалось, что для любых чисел a и b верно неравенство  f(a² + b²) ≥ f(2ab).
Докажите, что хотя бы один из корней этого трёхчлена – отрицательный.


Решение

  Предположим, что оба корня трёхчлена неотрицательны, и придём к противоречию.

  Первый способ. Подставим в условие  b = 0  и получим, что  f(a²) ≥ f(0)  при всех a. Следовательно,  f(t) ≥ f(0)  при любом положительном t. Из этого следует, в частности, что ветви параболы направлены вверх.
  По предположению вершина параболы имеет положительную абсциссу, назовём ее t0. Но тогда  f(0) > f(t0).  Противоречие.

  Второй способ. Пусть t0 – положительная абсцисса вершины параболы.
  Если ветви параболы направлены вверх, то наименьшее значение трёхчлена равно f(t0). Подставив в условие  b = –a,  получим, что  f(2a²) ≥ f(–2a²)  при всех a. Следовательно,  f(t) ≥ f(–t) при любом положительном t; в частности,  f(t0) ≥ f(– t0),  что невозможно.
  Пусть ветви параболы направлены вниз. Тогда наибольшее значение трёхчлена равно  f(t0). Подставив в условие  b = 2a,  получим, что
f(5a²) ≥ f(4a²)  при всех a. Следовательно,  f(5t/4) ≥ f(t)  при любом положительном t; в частности,  f(5t0/4) ≥ f(t0),  что невозможно.

  Третий способ. Заметим, что для любых чисел  0 ≤ p ≤ q  можно подобрать такие неотрицательные числа a и b, что  p = 2ab  и  q = a² + b².  Следовательно, для любых чисел  0 ≤ p ≤ q  имеем неравенство  f(p) ≤ f(q).  Таким образом, на положительной полуоси трёхчлен возрастает. Поэтому ветви его графика направлены вверх. Но тогда он не может иметь два неотрицательных корня, поскольку это противоречит возрастанию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .