|
|
 |
Условие
Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)
Решение
Обозначим центры вазы, грейпфрута и апельсинов через V, G и A1, A2, A3, A4 соответственно. Заметим, что все эти шесть точек различны, так как все фрукты находятся под крышкой. Пусть соответствующие апельсины касаются грейпфрута в точках K1, K2, K3, K4, а вазы – в точках P1, P2, P3, P4. Обозначим радиусы вазы, грейпфрута и апельсина через v, g и a соответственно.
Рассмотрим треугольники VGAi. В них сторона VG – общая; кроме того, VAi = VPi – AiPi = v – a и GAi = GKi + KiAi = g + a. Значит, все эти треугольники равны по трём сторонам. Поскольку GKi = g и KiAi = a, точки Ki соответствуют друг другу в этих треугольниках. Тогда перпендикуляры из них на общую сторону VG падают в одну и ту же точку X. Поэтому все точки Ki лежат в плоскости, проходящей через X перпендикулярно VG.
Ответ
Верно.
Замечания
Условие наличия крышки у вазы существенно. Если крышки нет, а центр грейпфрута совпадает с центром вазы, то центры апельсинов могут находиться в любых точках сферы с центром в G и радиусом g + a, и точки касания не обязаны находиться в одной плоскости.
