ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65146
Темы:    [ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У Пети есть 12 одинаковых разноцветных вагончиков (некоторые, возможно, одного цвета, но неизвестно, сколько вагончиков какого цвета). Петя считает, что различных 12-вагонных поездов он сможет составить больше, чем 11-вагонных. Не ошибается ли Петя? (Поезда считаются одинаковыми, если в них на одних и тех же местах находятся вагончики одного и того же цвета.)


Решение

  Для краткости будем называть поезд из 11 вагончиков – "поезд-11", а поезд из двенадцати вагончиков – "поезд-12".
  Рассмотрим два различных "поезда-12" и отцепим от них последние вагончики. Если эти вагончики у них одинаковые, то, отцепив их, мы получим различные "поезда-11" (так как "поезда-12" были различными, а отцеплены одинаковые вагончики). Если же последние вагончики были различными, то на каком-то месте в этих поездах также должны находиться различные вагончики, так как все поезда составлены из одного и того же набора вагончиков (из всех вагончиков, которые есть у Пети).
  Таким образом, все получившиеся "поезда-11" будут состоять из различных наборов вагончиков, то есть также будут различными. Следовательно, из различных "поездов-12" получаются различные "поезда-11", то есть "поездов-11" не меньше, чем "поездов-12".


Ответ

Ошибается.

Замечания

На самом деле, "поездов-11" ровно столько же, сколько и "поездов-12". Действительно, если рассмотреть два различных "поезда-11", то после добавления к ним последнего вагончика не могут получиться одинаковые "поезда-12", так как среди первых 11 вагончиков есть отличия. Поэтому из различных "поездов-11" получаются различные "поезда-12", то есть "поездов-12" не меньше чем "поездов-11". В итоге мы установили взаимно однозначное соответствие между двумя множествами: различных "поездов-12" и различных "поездов-11".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада для 6-7 классов
год/номер
Номер 13 (2015 год)
Дата 2015-03-9
класс
Класс 7 класс
задача
Номер 7.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .