ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65156
Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Композиция преобразований плоскости ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точки K и L делят медиану AM треугольника ABC на три равные части, точка K лежит между L и . Отметили точку P так, что треугольники KPL и ABC подобны, причём P и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AM. Докажите, что P лежит на прямой AC.


Решение

  Пусть N – середина AC.

  Первый способ. Рассмотрим на стороне AC такую точку Q, что  ∠ALQ = ∠C.  Тогда треугольники ALQ и ACM подобны (по двум углам). При этом подобии медиана MN треугольника ACM переходит в медиану QK треугольника ALQ. Следовательно, треугольник KQL подобен треугольнику NMC, а значит, и треугольнику ABC. Таким образом, точки P и Q совпадают.

  Второй способ. Рассмотрим композицию симметрии относительно биссектрисы угла САМ, переводящей С в точку С', и гомотетии с центром А, переводящей С' в L. При этом точка N перейдёт в К, а образ точки М попадёт на прямую АС и, поскольку треугольники NMC и KPL подобны, совпадёт с P.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
1
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .