|
|
 |
Условие
Секретная база окружена прозрачным извилистым забором в форме невыпуклого многоугольника, снаружи – болото. Через болото проложена прямая линия электропередач из 36 столбов, часть из которых стоит снаружи базы, а часть – внутри. (Линия электропередач не проходит через вершины забора.) Шпион обходит базу снаружи вдоль забора так, что забор всё время по правую руку от него. Каждый раз, оказавшись на линии электропередач, он считает, сколько всего столбов находится по левую руку от него (он их все видит). К моменту, когда шпион обошёл весь забор, он насчитал в сумме 2015 столбов. Сколько столбов находится внутри базы?
Решение
Прямая ЛЭП пересекается с территорией базы по нескольким отрезкам. Шпион считает столбы, когда оказывается в конце одного из этих отрезков. Рассмотрим один из них (AB). Когда шпион находится в точке A, он считает столбы по одну сторону от AB, а когда находится в точке B, считает столбы по другую сторону от AB. Если к этим столбам добавить столбы внутри AB, то получится 36 столбов. Складывая эти равенства для всех отрезков, получим, что 2015 плюс количество n столбов внутри базы делится на 36. Так как n ≤ 36 и 2016 кратно 36, то n = 1.
Ответ
Один столб.
Замечания
6 баллов
