ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65160
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Натуральные числа x, x² и x³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?
б) Тот же вопрос для натуральных чисел x, x², x³, ..., x2015.


Решение

а) Числа 99,  99² = 9801,  99³ = 970299  начинаются с девятки.

б) Очевидно, найдётся такое натуральное k, что     Тогда неравенство  0,9 ≤ (1 – 10k)2015 ≤ (1 – 10k)n < 1  выполнено при всех  n ≤ 2015.  Умножая на 10kn, получим  0,9·10kn ≤ (10k – 1)n < 10kn.  Это значит, что при  x = 10k – 1  все числа вида xn, где  n = 1, 2, ..., 2015,  начинаются с девятки.


Ответ

Не обязательно.

Замечания

1. Годится уже  k = 5,  так как согласно неравенству Бернулли  0,9 ≤ 1 – n·10–5 ≤ (1 – 10–5)n  даже для  n ≤ 10000.

2. Баллы: 8-9 кл – 3 + 4, 10-11 кл – 2 + 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 36
Дата 2014/15
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .