Задача 65160
|
|
 |
Условие
а) Натуральные числа x, x² и x³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?
б) Тот же вопрос для натуральных чисел x, x², x³, ..., x2015.
Решение
а) Числа 99, 99² = 9801, 99³ = 970299 начинаются с девятки.
б) Очевидно, найдётся такое натуральное k, что Тогда неравенство 0,9 ≤ (1 – 10–k)2015 ≤ (1 – 10–k)n < 1 выполнено при всех n ≤ 2015. Умножая на 10kn, получим 0,9·10kn ≤ (10k – 1)n < 10kn. Это значит, что при x = 10k – 1 все числа вида xn, где n = 1, 2, ..., 2015, начинаются с девятки.
Ответ
Не обязательно.
Замечания
1. Годится уже k = 5, так как согласно неравенству Бернулли 0,9 ≤ 1 – n·10–5 ≤ (1 – 10–5)n даже для n ≤ 10000.
2. Баллы: 8-9 кл – 3 + 4, 10-11 кл – 2 + 3.
