|
|
 |
Условие
Три трёхзначных простых числа, составляющие арифметическую прогрессию, записаны подряд.
Может ли полученное девятизначное число быть простым?
Решение
Докажем, что полученное число кратно 3.
Первый способ. Так как данные простые числа составляют арифметическую прогрессию, то их можно записать в виде: а – d, а, а + d. Сумма цифр каждого из этих чисел даёт тот же остаток при делении на 3, что и само число. Значит, сумма цифр девятизначного числа дает тот же остаток при делении на 3, что и сумма данных чисел, которая равна 3а. Таким образом, полученное число кратно 3.
Второй способ. Заметим, что разность прогрессии должна быть кратна 3, иначе три члена прогрессии будут иметь разные остатки от деления на 3, то есть среди них будет число, кратное 3, которое не может быть простым. Следовательно, данные числа имеют одинаковые остатки при делении на 3 и такие же остатки при делении на 3 имеют суммы их цифр, поэтому сумма цифр девятизначного числа кратна 3.
Ответ
Не может.
Замечания
1. Ситуация, описанная в условии, возможна: например, записаны числа 107, 137, 167 или 167, 197, 227.
2. Доказанное утверждение справедливо для любой тройки простых чисел, не обязательно трёхзначных.
