|
|
 |
Условие
Прямоугольный параллелепипед размером m×n×k разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?
Решение
На трёх ребрах данного параллелепипеда, исходящих из одной вершины, образовалось m + 1, n + 1 и k + 1 точка разбиения соответственно (включая концы). Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Каждый параллелепипед однозначно определяется тремя рёбрами, исходящими из одной вершины. Количество возможных различных рёбер по каждому из измерений равно количеству способов выбрать две точки из имеющихся, то есть оно равно соответственно.
Выбор ребра по каждому из измерений происходит независимо, поэтому искомое количество параллелепипедов равно
Второй способ. Всего после разбиения в пространстве образуется (m + 1)(n + 1)(k + 1) точек, которые могут стать вершинами параллелепипедов. Заметим, что каждые две точки, не лежащие в плоскости, параллельной одной из граней данного параллелепипеда, могут стать концами диагонали ровно одного из искомых параллелепипедов. Для каждой точки разбиения существует mnk точек, которые могут стать вторым концом такой диагонали, поэтому количество диагоналей равно ½ mnk(m + 1)(n + 1)(k + 1). Но в каждом параллелепипеде – 4 диагонали, поэтому искомое количество параллелепипедов в 4 раза меньше.
Ответ
⅛ mnk(m + 1)(n + 1)(k + 1).
