|
|
 |
Условие
Клетки бесконечного клетчатого листа бумаги раскрасили в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Пусть X – треугольник площади S с вершинами в узлах сетки. Покажите, что есть такой подобный X треугольник с вершинами в узлах сетки, что площадь его белой части равна площади чёрной части и равна S.
Решение
Рассмотрим поворотную гомотетию F с центром в начале координат, коэффициентом и углом 45°. Заметим, что в координатах её можно записать как F: (x, y) → (x – y, x + y), то есть образ целочисленной решетки снова лежит в целочисленной решётке. При этом площадь каждой фигуры увеличивается вдвое, так что образ треугольника X имеет площадь 2S.
Заметим, что образ единичного квадрата, независимо от его цвета, имеет
равные чёрную и белую часть площади, то есть для него утверждение задачи верно.
Следовательно, оно верно для любого прямоугольника с вершинами в узлах
решётки и сторонами, параллельными осям координат.
Если стороны такого прямоугольника имеют одинаковую чётность, то образ вектора его диагонали имеет чётные координаты, и тогда центр образа прямоугольника – узел решётки.
Если же стороны прямоугольника имеют разную чётность, то образ вектора его диагонали имеет нечётные координаты, и тогда центр образа прямоугольника совпадает с центром одного из квадратов решётки.
В любом случае при центральной симметрии относительно такой точки чёрная клетка переходит в чёрную, а белая – в белую. Следовательно, образ
всякого прямоугольного треугольника в вершинами в узлах решётки и катетами,
параллельными осям координат, имеет равные чёрную и белую площадь. Ну а любой
треугольник можно получить, вырезав из прямоугольника несколько таких
треугольников.
