Задача 65218

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Условие

Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.

Решение

Упорядочим данные числа по возрастанию:  а₁ ≤ а₂ ≤ ... ≤ а₉.  По условию  а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ > а₆ + а₇ + а₈ + а₉ ≥ а₂ + a₃ + а₄ + а₅.  Значит,  а₁ > 0.  Тем более остальные числа положительны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2014/15
класс
Класс	7
задача
Номер	7.3.1