ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65226
Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC на сторонах AC, BC и AB отметили точки D, E и F соответственно, так, что  AD = AB,  EC = DC,  BF = BE.  После этого стёрли всё, кроме точек E, F и D. Восстановите треугольник ABC.


Решение

  Заметим, что серединные перпендикуляры к отрезкам DE и EF содержат биссектрисы треугольника ABC. Следовательно, центр описанной окружности треугольника DEF совпадает с центром I вписанной окружности треугольника ABC (см. рис.).

  Поскольку  AD = AB  и AI – биссектриса угла A треугольника ABC, то треугольники ADI и ABI равны. Следовательно,  DI = BI,  то есть точка B лежит на описанной окружности треугольника DEF.
  Отсюда вытекает следующее построение:
  1) находим I как точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам DE и EF;
  2) находим B как точку пересечения серединного перпендикуляра к отрезку EF и описанной окружности треугольника DEF;
  3) находим A как точку пересечения серединного перпендикуляра к BD и прямой BF;
  4) находим C как точку пересечения прямых AD и BE.

Замечания

Также можно было использовать, что четырёхугольник ADIF – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 13 (2015 год)
Дата 2015-04-13
класс
Класс 8-9
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .