Задача 65226

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Васильев М.

В треугольнике ABC на сторонах AC, BC и AB отметили точки D, E и F соответственно, так, что  AD = AB,  EC = DC,  BF = BE.  После этого стёрли всё, кроме точек E, F и D. Восстановите треугольник ABC.

Решение

  Заметим, что серединные перпендикуляры к отрезкам DE и EF содержат биссектрисы треугольника ABC. Следовательно, центр описанной окружности треугольника DEF совпадает с центром I вписанной окружности треугольника ABC (см. рис.).

  Поскольку  AD = AB  и AI – биссектриса угла A треугольника ABC, то треугольники ADI и ABI равны. Следовательно,  DI = BI,  то есть точка B лежит на описанной окружности треугольника DEF.
  Отсюда вытекает следующее построение:
  1) находим I как точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам DE и EF;
  2) находим B как точку пересечения серединного перпендикуляра к отрезку EF и описанной окружности треугольника DEF;
  3) находим A как точку пересечения серединного перпендикуляра к BD и прямой BF;
  4) находим C как точку пересечения прямых AD и BE.

Замечания

Также можно было использовать, что четырёхугольник ADIF – вписанный.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	13 (2015 год)
Дата	2015-04-13
класс
Класс	8-9
задача
Номер	3