ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65227
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD биссектрисы углов A и D пересекаются в точке E, лежащей на боковой стороне BC. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания AB в точке K, а две другие касаются биссектрисы DE в точках M и N. Докажите, что  BK = MN.


Решение

  Заметим, что  ∠AED = 90°  (сумма углов A и D равна 180°, DE и AE – биссектрисы, см. рис. слева). Пусть F – точка пересечения прямых DE и AB. В треугольнике ADF отрезок AE является высотой и биссектрисой, следовательно, этот треугольник – равнобедренный и  DE = EF.  Поэтому треугольники DCE и FBE равны по стороне и двум углам. Следовательно,  CE = BE  и  DC = FB,  откуда  AD – CD = AF – CD = AB.

             
  Выражая отрезки касательных через стороны соответствующих треугольников (см. задачу 55404), получаем  2DN = AD + DE – AE,
2DM = CD + DE – CE,  2BK = AB + BE – AE  (рис. справа). Отсюда  2MN = 2DN – 2DM = AD – AE – CD + CE = AB – AE + BE = 2BK.

Замечания

  1. Точки M и N расположены на отрезке DE именно в таком порядке, как показано на рисунке справа, в силу неравенства  DN – DM = BK > 0.

  2. Поскольку  AD = AB + DC  и DE и AE – биссектрисы углов D и A соответственно, то треугольники DCE и ABE можно "перегнуть" по сторонам DE и AE внутрь треугольника ADE так, что точки C и B совпадут и окажутся на отрезке AD. Таким образом задачу можно свести к такому известному факту.
  В треугольнике ABC провели чевиану BK. M, L и N – точки касания вписанных окружностей треугольников ABK, CBK и ABC со стороной AC (см. рис.). Тогда  MK = NL.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 13 (2015 год)
Дата 2015-04-13
класс
Класс 8-9
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .