ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65266
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На каждой из четырёх карточек написано натуральное число. Берут наугад две карточки и складывают числа на них. С равной вероятностью эта сумма может быть меньше 9, равна 9 и больше 9. Какие числа могут быть записаны на карточках?


Решение

  Пусть на четырёх карточках написаны натуральные числа  a ≤ b ≤ c ≤ d.  Две из четырёх карточек можно выбрать шестью различными способами. Поскольку по условию пару карточек выбирают случайным образом, то вероятность выбрать конкретную пару равна ⅙. Так как по условию события  {s < 9},  {s = 9},  {s > 9}  (где s– сумма чисел на выбранных карточках) равновероятны, то вероятность каждого из них равна ⅓.
  Значит, две из сумм  a + b,  a + c,  a + d,  b + c,  b + d,  c + d  равны 9, две больше 9 и две меньше.
  В силу неравенств  a + b ≤ a + c ≤ a + d ≤ b + d ≤ c + d  и  a + c ≤ b + c ≤ b + d  равны 9 суммы  a + d  и  b + c,  меньше 9 суммы  a + b  и  a + c,  а больше 9 – суммы  b + d  и  c + d.  В частности,  a + c < a + d,  значит,  c < d.  Аналогично  a < b.  Кроме того,  b < c,  так как сумма  b + c  нечётна.
Таким образом, пары  {a, d}  и  {b, c}  можно выбирать из пар  {1, 8},  {2, 7},  {3, 6},  {4, 5},  с учётом полученных неравенств. Отсюда ответ.


Ответ

(1, 2, 7, 8),  (1, 3, 6, 8),  (1, 4, 5, 8),  (2, 3, 6, 7),  (2, 4, 5, 7),  (3, 4, 5, 6).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2008
задача
Номер 9

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .