ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65273
Тема:    [ Дискретное распределение ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Игральную кость бросают раз за разом. Обозначим через Pn вероятность того, что в какой-то момент сумма очков, выпавших при всех сделанных бросках, равна n. Докажите, что при  n ≥ 7  верно равенство  Pn = ⅙ (Pn–1 + Pn–2 + ... + Pn–6).


Решение

  Разделим игру на два независимых испытания: первый бросок, который даёт с вероятностью ⅙ любое число очков k от 1 до 6, и второе испытание – все последующие броски. Все последующие броски – такая же игра, которая даёт в какой-то момент сумму m с вероятностью  Pm.  Вероятность P(Ak,m) события  Ak,m = {первый раз выпало k; сумма остальных в какой-то момент равна m}  равна ⅙ Pm.
  Очевидно, во всей игре сумма очков в какой-то момент станет равна n, если  m = n – k.  События A1,n–1, A2,n–2, ... и т.д. несовместны, поэтому
Pn = P(A1,n–1) + ... + P(A1,n–6) = ⅙ Pn–1 + ... + ⅙ Pn–6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2008
задача
Номер 16

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .