Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Пусть z1, z2, ..., zn – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек z = λ1z1 + λ2z2 + ... + λnzn, где λ1, λ2, ..., λn – такие действительные положительные числа, что λ1 + λ2 + ... + λn = 1.
В школе все ученики — отличники, хорошисты либо троечники. В круг встали 99 учеников. У каждого среди трёх соседей слева есть хотя бы один троечник, среди пяти соседей справа — хотя бы один отличник, а среди четырёх соседей — двух слева и двух справа — хотя бы один хорошист. Может ли в этом круге быть поровну отличников и троечников?
Докажите, что cтепень точки w относительно окружности Azz + Bz – B z + C = 0 равна
|
|
 |
Условие
Ася и Вася вырезают прямоугольники из клетчатой бумаги. Вася ленивый; он кидает игральную кость один раз и вырезает квадрат, сторона которого равна выпавшему числу очков. Ася кидает кость дважды и вырезает прямоугольник с длиной и шириной, равными выпавшим числам. У кого математическое ожидание площади прямоугольника больше?
Решение
Пусть A и B – независимые случайные величины, принимающие значения 1, 2, ..., 6 с равными вероятностями. Тогда математическое ожидание площади Асиного прямоугольника равно EAB = EA·EB = (EA)² (так как A и B независимы). Ожидание площади Васиного прямоугольника EA².
Поскольку 0 < DA = EA² – (EA)², то EA² > (EA)².
Значит, в среднем площадь Васиного квадрата больше площади Асиного прямоугольника.
Ответ
У Васи.
Замечания
Можно было сослаться на неравенство между средним арифметическим и средним квадратичным, а также честно вычислить EA2 и (EA)2.
