Задача 65286

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

На экзамене даётся три задачи по тригонометрии, две по алгебре и пять по геометрии. Ваня решает задачи по тригонометрии с вероятностью
p₁ = 0,2,  по геометрии – с вероятностью  p₂ = 0,4,  по алгебре – с вероятностью  p₃ = 0,5.  Чтобы получить тройку, Ване нужно решить не менее пяти задач.
  а) С какой вероятностью Ваня решит не менее пяти задач?
Ваня решил усиленно заняться задачами какого-нибудь одного раздела. За неделю он может увеличить вероятность решения заданий этого раздела на 0,2.
  б) Каким разделом следует заняться Ване, чтобы вероятность решить не менее пяти задач стала наибольшей?
  в) Каким разделом следует заняться Васе, чтобы математическое ожидание числа решённых задач стало наибольшим?

Решение

  а) Пусть случайная величина X – число решённых задач по тригонометрии, Y – число решённых задач по геометрии и Z – число решённых задач по алгебре. Тогда сумма  U = X + Y + Z  есть общее число решённых задач. Мы хотим найти вероятность  P(U ≥ 5).  Проще вычислить
P(U < 5) = P(U = 0) + P(U = 1) + P(U = 2) + P(U = 3) + P(U = 4).
  Запишем таблицы распределения случайных величин X, Y и Z.
  Вероятность решить  0 ≤ k ≤ 3  задач по тригонометрии равна  

  Вероятность решить  0 ≤ n ≤ 5  задач по геометрии равна  

  И вероятность решить  0 ≤ m ≤ 2  задач по алгебре равна

  Теперь заполним аналогичную таблицу для U, представляя количество решённых задач в виде суммы различных слагаемых. При этом
P(X = k,  Y = n,  Z = m) = P(X = k)P(Y = n)P(Z = m).

  Вероятность  P(U = l)  получить l баллов есть сумма вероятностей каждого из случаев разбиения l.

  Искомая вероятность равна  P(U ≥ 5) = 1 – P(U < 5) ≈ 0,27.

  б) Способом, аналогичным указанному в пункте а), находим, что, если увеличить на 0,2 вероятность решения задач по тригонометрии, то вероятность решить не менее 5 задач  P(U ≥ 5)  станет равна  0,41752576 ≈ 0,42.
  Если увеличить на 0,2 вероятность решения задач по геометрии, получим  P(U ≥ 5) = 0,52636928 ≈ 0,53.
  Если же увеличить на 0,2 вероятность решения задач по алгебре, получим  P(U  5) = 0,35814546 ≈ 0,36.
  Таким образом, Ване следует заняться геометрией.

  в) Вычислим математическое ожидание числа решённых задач  EU = EX + EY + EZ.  EX = EX₁ + EX₂ + EX₃,  где X_i равно 1 с вероятностью p₁, если i-я задача по тригонометрии решена, и 0 с вероятностью  1 – p₁,  если не решена. Значит,  EX_i = p₁,  откуда  EX = 3p₁.  Аналогично  EY = 5p₂,  EZ = 2p₃,  то есть  EU = 3p₁ + 5p₂ + 2p₃.
  Значит, при увеличении p₁ на 0,2 EU увеличится на 0,6, при увеличении p₂ на 0,2 – на 1, при увеличении p₃ на 0,2 – на 0,4.
  Таким образом, математическое ожидание числа решённых задач будет наибольшим в случае, если Ваня займётся геометрией.

Ответ

а)  ≈ 0,27;   б)-в) геометрией.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2009
задача
Номер	10