Задача 65289

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Сочетания и размещения ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность того, что ни разу не выпадут два орла подряд.

Решение

  Общее число исходов при десяти бросаниях монеты равно 2¹⁰. Найдём число комбинаций, где нет двух орлов подряд.

  Первый способ. Если орлов нет вовсе, то такая последовательность состоит из десяти решек и всего одна. Если орел один, то таких комбинаций 10 (орел стоит на любом из 10 мест). Если орлов два, то комбинаций    (мы считаем количество вариантов расставить 2 орла по одному между 8 решками или по краям). И так далее. Если орлов k, то комбинаций    (число вариантов расставить орлов в  11 – k  мест между решками и по краям).
  Значит, общее число комбинаций равно  

  Второй способ. Пусть монету бросают n раз, и  f(n) – число вариантов бросания без двух орлов подряд. Число допустимых комбинаций, в которых на последнем месте стоит решка, равно  f(n – 1).  Число допустимых комбинаций, в которых на последнем месте стоит орел, равно  f(n – 2),  так как перед орлом на предпоследнем месте обязательно должна стоять решка. Таким образом,  f(n) = f(n – 1) + f(n – 2).  Поскольку  f(1) = 2,  f(2) = 3,  можно последовательно вычислить  f(3) = 5,  f(4) = 8,  ...,  f(10) = 144.

  Следовательно, искомая вероятность есть  144 : 2¹⁰ = ⁹/₆₄.

Ответ

⁹/₆₄.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2009
задача
Номер	13