ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65290
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Средние величины ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В затылок друг другу выстроились n человек. Более высокие загораживают более низких, и тех не видно.
Чему равно математическое ожидание числа людей, которых видно?


Решение

  Обозначим через Xn случайную величину "Число видимых среди n человек". Что происходит при добавлении n-го человека в хвост очереди?
С вероятностью 1/n он выше всех прочих и с вероятностью  n–1/n  он не самый высокий. В первом случае станет видно на одного человека больше, а во втором число тех, кто виден, не изменится. Значит,  Xn = 1/n (Xn–1 + 1) + n–1/n Xn–1.
  Перейдём к ожиданиям:  EXn = EXn–1 + 1/n = EXn–2 + 1/n–1 + 1/n = ... = EX1 + ½ + ⅓ + ... + 1/n.
  EX1 = 1,  поскольку один человек всегда виден. Значит,  EXn = 1 + ½ + ⅓ + ... + 1/n.


Ответ

1 + ½ + ⅓ + ... + 1/n.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2009
задача
Номер 14

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .