Задача 65290
|
|
 |
Условие
В затылок друг другу выстроились n человек. Более высокие загораживают более низких, и тех не видно.
Чему равно математическое ожидание числа людей, которых видно?
Решение
Обозначим через Xn случайную величину "Число видимых среди n человек". Что происходит при добавлении n-го человека в хвост очереди?
С вероятностью 1/n он выше всех прочих и с вероятностью n–1/n он не самый высокий. В первом случае станет видно на одного человека больше, а во втором число тех, кто виден, не изменится. Значит, Xn = 1/n (Xn–1 + 1) + n–1/n Xn–1.
Перейдём к ожиданиям: EXn = EXn–1 + 1/n = EXn–2 + 1/n–1 + 1/n = ... = EX1 + ½ + ⅓ + ... + 1/n.
EX1 = 1, поскольку один человек всегда виден. Значит, EXn = 1 + ½ + ⅓ + ... + 1/n.
Ответ
1 + ½ + ⅓ + ... + 1/n.
