Задача 65293

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Средние величины ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Обратные тригонометрические функции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

В центре прямоугольного биллиардного стола длиной 3 м и шириной 1 м стоит биллиардный шарик. По нему ударяют кием в случайном направлении. После удара шар останавливается, пройдя ровно 2 м. Найдите ожидаемое число отражений от бортиков стола.

Решение

  Изобразим сетку с ячейкой  3 м × 1 м.  Центральная ячейка сетки – стол, выделенный на рисунке светло-зелёным цветом. Нам потребуется распространить сетку во все стороны настолько, чтобы в нее уместился круг радиусом 2 м с центром в центре стола O.
  Позволим шарику "проходить сквозь бортики", катясь прямолинейно по сетке. Отражение от бортика стола соответствует пересечению одной линии сетки. Очевидно можно рассмотреть только четверть круга, то есть все направления, приводящие шар в одну из точек дуги AK.

  На рисунке видно, что пересечений два, если шарик попадает на дугу AB или на дугу CL. Если шарик попадает на дугу BC или KL, то пересечение одно.
   

  Значит, вероятность p₂ двух пересечений равна  
  Вероятность p₁ одного пересечения равна  1 – p₂.

  Ожидание числа пересечений  p₁ + 2p₂ = 1 + p₂ =  

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2009
задача
Номер	17