ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65298
Тема:    [ Дискретное распределение ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В финал конкурса спектаклей к 8 Марта вышли два спектакля. В первом играли n учеников 5 класса А, а во втором – n учеников 5 класса Б. На спектакле присутствовали 2n мам всех 2n учеников. Лучший спектакль выбирается голосованием мам. Известно, что каждая мама с вероятностью ½ голосует за лучший спектакль и с вероятностью ½ – за спектакль, в котором участвует её ребенок.
  а) Найдите вероятность того, что лучший спектакль победит с перевесом голосов.
  б) Тот же вопрос, если в финал вышло больше двух классов.


Решение

  а) Назовем маму уверенной, если её ребенок играет в лучшем спектакле. Уверенная мама с вероятностью 1 проголосует за лучший спектакль. Уверенных мам ровно n, поэтому лучший спектакль наберет не меньше половины голосов – он получит, по крайней мере, голоса всех уверенных мам. Единственный случай, когда лучший спектакль не победит – ничья, когда худший спектакль получит голоса всех неуверенных мам. Это возможно, только если все неуверенные мамы проголосуют за своих детей. Вероятность этого события равна 2n. Значит, вероятность того, что за лучший спектакль будет подано больше голосов, равна  1 – 2n.

  б) Пусть в финал вышло  m > 2  классов с одинаковым числом n участников спектакля в каждом из них. Лучший спектакль получит, по крайней мере, n голосов – по одному голосу от каждой уверенной мамы. Каждый из остальных спектаклей получит не более чем n голосов всех мам. Если хотя бы одна неуверенная мама проголосовала за лучший спектакль, он побеждает. Значит, лучший спектакль не победит, только если все неуверенные мамы (их ровно  (m – 1)n)  проголосовали за своих детей. Вероятность этого события равна  2n–mn.


Ответ

а)  1 – 2n;   б)  1 – 2n–mn,  где m – число классов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2010
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .