Задача 65305

Темы:    [ Непрерывное распределение ] [ Средние величины ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя – красная. В квадрате случайным образом выбирается точка F. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку F. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника.

Решение

  Результат зависит только от взаимного положения точки F и выбранной вершины. Поэтому можно считать, что вершина фиксирована (пусть это будет вершина A), а точка F выбирается случайно.

  Если точка F принадлежит оранжевому двуугольнику, то в результате сложения получится треугольник (серединный перпендикуляр к отрезку AF пересечёт одну из сторон AD или BC), а если точка F вне двуугольника, в серой области, то будет четырёхугольник.
  Если считать, что площадь квадрата равна 1, то вероятности P_g и P_o попадания точки F соответственно в серую и оранжевую области равны площадям этих областей:  P_g = 2(1 – ^π/₄) = 2 – ^π/₂,  P_o = 1 – P_g = ^π/₂ – 1.
  Итак, математическое ожидание равно  3P_o + 4P_g = 3(^π/₂ – 1) + 4(2 – ^π/₂) = 5 – ^π/₂ ≈ 3,429.

Ответ

5 – ^π/₂ ≈ 3,429.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2010
задача
Номер	13