Задача 65309

Темы:    [ Непрерывное распределение ] [ Средние величины ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В бумажном квадрате случайным образом выбирается точка O. Затем квадрат сгибают так, чтобы каждая вершина наложилась на точку O. На рисунке показана одна из возможных схем складывания. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося многоугольника.

Решение

  Небольшое геометрическое исследование показывает, что в результате может получиться шестиугольник, пятиугольник и четырёхугольник. Четырёхугольник получается, только если точка O попала точно в центр или в вершину квадрата. Вероятность этого равна нулю.

  Шестиугольник получается, если точка O внутри фигуры, граница которой образована четырьмя полуокружностями (оранжевый четырёхлепестковый цветок на рисунке). Если же точка O в любом другое месте (серая область), то получается пятиугольник.
  Если считать, что площадь квадрата равна 1, то вероятность того, что точка O попадает в оранжевую область, равна площади этой области:
P_o = S_o = 8·(π/₁₆ – 1/₈) = π/₂ – 1.
  Вероятность P_g того, что точка O попадает в серую область, равна  1 – P_o = 2 – ^π/₂.
  Таким образом, математическое ожидание числа сторон многоугольника равно  5(2 – ^π/₂) + 6(^π/₂ – 1) = 4 + ^π/₂ ≈ 5,571.

Ответ

4 + ^π/₂ ≈ 5,571.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2010
задача
Номер	17