|
|
 |
Условие
В автобусе n мест, и все билеты проданы n пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету?
Решение 1
Пронумеруем всех пассажиров, начиная с Учёного, в том порядке, в каком они заходили в автобус. Последний пассажир имеет номер n. Для простоты места пронумеруем так же. Пусть все, кроме последнего пассажира, уже вошли и заняли места. Осталось одно свободное место. Если бы это было второе место, то второй пассажир (или Учёный) уже занял бы его. То же верно для мест номерами 3, 4, 5, ..., n – 1. Значит, это место принадлежит либо последнему пассажиру, либо Рассеянному Учёному.
Ясно, что оно с равными шансами может принадлежать как первому, так и последнему. В первом случае последний пассажир сядет не на своё место, а во втором – на своё. Значит, вероятности обоих событий равны ½.
Решение 2
Докажем по индукции, что при n > 1 искомая вероятность равна ½.
База (n = 2). С вероятностью ½ учёный займёт своё место, а значит, второй (он же последний) пассажир займёт своё место с такой же вероятностью.
Шаг индукции. С вероятностью 1/n учёный займёт своё место. В этом случае последний пассажир занимает своё место с вероятностью 1.
С вероятностью 1/n Учёный займёт место последнего пассажира, и тогда тот займёт свое место с вероятностью 0.
С вероятностью n–2/n Учёный займёт место пассажира с номером i, где 1 < i < n. Тогда i-й пассажир играет роль "нового Рассеянного Учёного" при меньшем числе пассажиров. По предположению индукции в этом случае последний пассажир занимает свое место с вероятностью ½.
Таким образом, по формуле полной вероятности вероятность события "последний пассажир занял своё место" равна 1/n·1 + n–2/n·½ = ½.
Ответ
½.
Замечания
В более традиционной формулировке речь идет о сумасшедшей старушке, садяшейся в самолёт.
